Question

7．已知拋物線方程為y²=4x，直線L過定點P（-2，1），斜率為k，k為何值時，直線L與拋物線y²=4x只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？

Answer 1

分析 設出直線方程代入拋物線方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個公共點?（*）只有一個根
（2）直線與拋物線有2個公共點?（*）有兩個根
（3）直線與拋物線沒有一個公共點?（*）沒有根

解答 解：由題意可設直線方程為：y=k（x+2）+1，
代入拋物線方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個公共點等價于（*）只有一個根
①k=0時，y=1符合題意；
②k≠0時，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=$\frac{1}{2}$或k=-1．
綜上可得，k=$\frac{1}{2}$或k=-1或k=0；
（2）由（1）得2k²+k-1＜0且k≠0，∴-1＜k＜$\frac{1}{2}$且k≠0；
（3）由（1）得2k²+k-1＞0，∴k＞$\frac{1}{2}$或k＜-1．

點評 本題主要考查了由直線與拋物線的位置關系的求解參數的取值范圍，一般的思路是把位置關系轉化為方程解的問題，體現了轉化的思想．