Question

已知函數.

（Ⅰ）求函數的極大值.

（Ⅱ）求證：存在，使；

（Ⅲ）對于函數與定義域內的任意實數x，若存在常數k,b,使得和都成立，則稱直線為函數與的分界線.試探究函數與是否存在“分界線”？若存在，請給予證明，并求出k,b的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）……………………………………（1分）

      令解得

      令解得.……………………………………………………（2分）

      ∴函數在（0,1）內單調遞增，在上單調遞減. ……………（3分）

      所以的極大值為 …………………………………………（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在（0,1）內單調遞增，在上單調遞減，

      令

      ∴ ………………………………………………（5分）

      取則

 ………………………………（6分）

故存在使即存在使

………………………………………………（7分）

      （說明：的取法不唯一，只要滿足且即可）

（Ⅱ）設

      則

      則當時，，函數單調遞減；

      當時，，函數單調遞增.

      ∴是函數的極小值點，也是最小值點,

      ∴

      ∴函數與的圖象在處有公共點（）.………（9分）

      設與存在“分界線”且方程為，

      令函數

      ①由≥，得在上恒成立，

      即在上恒成立，

      ∴，

      即，

      ∴，故………………………………………（11分）

      ②下面說明：，

      即恒成立.

      設

      則

      ∵當時，,函數單調遞增，

        當時，,函數單調遞減，

      ∴當時，取得最大值0，.

      ∴成立.………………………………………（13分）

      綜合①②知且

      故函數與存在“分界線”，

      此時…………………………………………………（14分）