Question

已知函數-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，求函數y=log2

x

2

•log2

x

4

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由對數函數的性質可得即log2x∈[

1

2

，3]，而函數式可化為y=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，由二次函數區間的最值得求法可得答案．

解答：解：∵-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，∴-3≤-log2x≤-

1

2

，即log2x∈[

1

2

，3]，
而函數y=（log₂x-1）（log₂x-2）=log²₂x-3log₂x+2=(log2x-

3

2

)2-

1

4

…（6分）
上式是關于log₂x的二次函數，在[

1

2

，

3

2

]上單調遞減，[

3

2

，3]上單調遞增，
故當log₂x=

3

2

，即當x=2

2

時，ymin=-

1

4

；…（11分）
當log₂x=3，即x=8時，y_max=2；…（16分）

點評：本題考查函數的值域，由對數的運算性質和二次函數區間的最值來求解是解決問題的關鍵，屬基礎題．