Question

已知函數(shù)y=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x，求：
（1）函數(shù)y的最大值，最小值及最小正周期；
（2）函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用輔助角公式將y=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x轉(zhuǎn)化為：y=2sin（

1

2

x+

π

3

），從而可求函數(shù)y的最大值，最小值及最小正周期；
（2）由2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵y=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x=2sin（

1

2

x+

π

3

），
∴y_max=2，y_min=-2，其最小正周期T=

2π

1 2

=4π；
（2）由2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：4kπ-

5π

3

≤x≤4kπ+

π

3

（k∈Z），
∴函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-

5π

3

，4kπ+

π

3

]（k∈Z）．

點評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性及周期性與最值，著重考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的靈活應用，屬于中檔題．