Question

設a是實數，f（x）=a-

2

2x+1

．
（1）試確定a的值，使f（-x）+f（x）=0成立．
（2）求證：不論a為何實數，f（x）均為增函數．

Answer 1

（1）由題知，f（-x）+f（x）=2a-

2

2x+1

-

2

2-x+1

=0，
則有a=

1

2x+1

+

1

2-x+1

=

2x+2-x+2

2x+2-x+2

=1，
故a的值為1．          …（8分）
（或先說明f（x）為奇函數，再由f（0）=0求出a的值．）
證明：（2）由題知x∈R，在R任取兩個值x₁，x₂（x₁＜x₂），則
f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

由x₁＜x₂且y=2^x為R上的增函數得2x1-2x2＜0，2x1+1＜0，2x2+1＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故不論a為何實數，f（x）均為增函數．…（16分）