Question

設a是實數，f（x）=a-

1

2x+1

(x∈R)
（Ⅰ）證明：對于任意實數a，f（x）在R上為增函數；
（Ⅱ）如果f（x）為奇函數，試確定a的值．
（Ⅲ）當f（x）為奇函數時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）定義證明函數的單調性，（2）利用奇函數在0處有定義，則有f（0）=0，（3）根據反比例函數性質和不等式性質求函數的值域．

解答：解：（1）設x₁，x₂是R內任意兩實數，且x₁＜x₂，
所以f(x1)-f(x2)=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
因為x₁＜x₂，所以0＜2x1＜2x2，
所以2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上為增函數．
（2）因為f（x）為R上的奇函數，
所以f(0)=a-

1

2

=0，
所以a=

1

2

．
（3）由（2）知，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
因為x∈R，所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1
所以-1＜-

1

2x+1

＜0，-

1

2

＜

1

2

-

1

2x+1

＜

1

2

，
所以f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)．

點評：本題考察函數奇偶性和單調性的綜合，此題單調性用定義比用導數容易一些，（3）中的值域主要利用反比例函數模型結合不等式的性質求解．