Question

【題目】已知函數

（1）當時，求函數的單調區間及極值；

（2）令，當時，不等式恒成立，

求實數的取值范圍；

（3）令，記數列的前n項積為，求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2） （3）見解析；

【解析】

試題分析：（1）由題已知，可得函數解析式，求函數的單調區間和極值（注意定義域）。可先求函數的導數，令，為增區間，反之為減區間，再判斷出極值。

（2）由題為在給定區間上的恒成立問題，即成立等價于，變量分離得；，然后構造函數，問題轉化為求在的最小值，可求得的取值范圍。

（3）為數列不等式的證明，由，聯系所證明的結論，可兩邊取自然對數，再運用對應函數的單調性放縮，可得等差與等比商型數列，利用錯位相減法可證得結論。

試題解析：（1）當時，

當時；當時＜0

∴當時，無極小值，

且函數的單調增區間為，單調減區間為；

（2）當時， 不等式恒成立等價于≥0

即：恒成立。令

當時， 則：

則實數a的取值范圍

（3）由（1）得：當時，在區間單調遞減，則：，

即：，

則：

記： ①

②

①－②得：

則：