Question

如圖，橢圓的中心為原點O，已知右準線l的方程為x＝4，右焦點F到它的距離為2．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設圓C經過點F，且被直線l截得的弦長為4，求使OC長最小時圓C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)． 　　由題意可得　　2分 　　解得a＝2，c＝2　　4分 　　從而b2＝a2－c2＝4． 　　所以橢圓的標準方程為＋＝1　　6分 　　(2)設圓C的方程為(x－m)2＋(y－n)2＝r2，r＞0． 　　由圓C經過點F(2，0)，得(2－m)2＋n2＝r2　①　　7分 　　由圓C被l截得的弦長為4，得|4－m|2＋()2＝r2　②　　8分 　　聯立①②，消去r得：n2＝16－4m　　10分 　　所以OC＝＝＝　　12分 　　因為由n2≥0可得m≤4， 　　所以當m＝2時，OC長有最小值2　　14分 　　此時n＝±2，r＝2，故所求圓C的方程為(x－2)2＋(y±2)2＝8　　16分