Question

如圖,設橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左右焦點分別為,線段的中點分別為,且△ 是面積為4的直角三角形.

(Ⅰ)求該橢圓的離心率和標準方程；

(Ⅱ)過做直線交橢圓于P,Q兩點,使,求直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

（I）所求橢圓的標準方程為:  

(2)滿足條件的直線有兩條,其方程分別為:和

【解析】(I) 設所求橢圓的標準方程為，因是直角三角形,又,故為直角,因此,得.又因為,消去b可得a,c的一個等式關系，從而可求出離心率，再利用,求出b，進而可得到a的值，橢圓方程確定.

(II) 由(1)知,由題意知直線的傾斜角不為0,故可設直線的方程為:,代入橢圓方程得,

因為,所以 

 =0

然后借助韋達定理代入上式可得關于m的方程求出m值，得到直線l的方程