Question

（2013•重慶）如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e=

2

2

，過左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點，|AA′|=4．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．若PQ⊥P'Q，求圓Q的標準方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用點A（-c，2）在橢圓上，結合橢圓的離心率，求出幾何量，即可求得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設出圓Q的圓心坐標及半徑，由PQ⊥P'Q得到P的坐標，寫出圓的方程后和橢圓聯立，化為關于x的二次方程后由判別式等于0得到關于t與r的方程，把P點坐標代入橢圓方程得到關于t與r的另一方程，聯立可求出t與r的值，經驗證滿足橢圓上的其余點均在圓Q外，結合對稱性即可求得圓Q的標準方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意知點A（-c，2）在橢圓上，則

(-c)2

a2

+

4

b2

=1，即

a2-b2

a2

+

4

b2

=1①
∵離心率e=

2

2

，∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

②
聯立①②得：

4

b2

=

1

2

，所以b²=8．
把b²=8代入②得，a²=16．
∴橢圓的標準方程為

x2

16

+

y2

8

=1；
（Ⅱ）設Q（t，0），圓Q的半徑為r，則圓Q的方程為（x-t）²+y²=r²，
不妨取P為第一象限的點，因為PQ⊥P'Q，則P（t+

2

2

r，

2

2

r）（t＞0）．
聯立

(x-t)2+y2=r2 x2 16 + y2 8 =1

，得x²-4tx+2t²+16-2r²=0．
由△=（-4t）²-4（2t²+16-2r²）=0，得t²+r²=8
又P（t+

2

2

r，

2

2

r）在橢圓上，所以

(t+ 2 2 r)2

16

+

( 2 2 r)2

8

=1．
整理得，t=

8- 1 2 r2

2 r

．
代入t²+r²=8，得

(8- 1 2 r2)2

2r2

+r2=8．
解得：r2=

16

3

．所以t2=

8

3

，t=

2 6

3

．
此時t+r=

2 6

3

+

4 3

3

＜4．
滿足橢圓上的其余點均在圓Q外．
由對稱性可知，當t＜0時，t=-

2 6

3

，r2=

16

3

．
故所求橢圓方程為(x±

2 6

3

)2+y2=

16

3

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查方程組的解法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．