Question

設(shè)點(diǎn)O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)M在直線l:x=-p(p＞0)上移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)N在線段MO的延長(zhǎng)線上,且滿點(diǎn)|MN|=|MO|·|NO|.

(1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程;

(2)當(dāng)p=1時(shí),求|MN|的最小值.

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)過(guò)N作NN′垂直x軸于N′,設(shè)直線l與x軸交于M′. 設(shè)N(x,y)(x＞0),則N′(x,0),M′(-p,0), ∵M、O、N三點(diǎn)共線, ∴ 由 ∵x＞0,p＞0,將上式整理化簡(jiǎn)為 (p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0(x＞0). (2)當(dāng)p=1時(shí),N點(diǎn)軌跡為y2=2x+1(x＞0), 設(shè)N(x,y),M(-1,t). 由M、O、N共線, 得∴M(-1,-). 則|MN|= =x++2≥2+2=4. 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=1時(shí),等式成立. ∴當(dāng)x=1時(shí),|MN|最小值為4. 綠色通道： 本題關(guān)鍵在于能否建立合理的等式,再將等式轉(zhuǎn)化為用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)來(lái)表示,即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.