Question

設點O是直角坐標系的原點,點M在直線l:x=-p(p＞0)上移動,動點N在線段MO的延長線上,且滿點|MN|=|MO|·|NO|.

(1)求動點N的軌跡方程;

(2)當p=1時,求|MN|的最小值.

Answer 1

解：(1)過N作NN′垂直x軸于N′,設直線l與x軸交于M′.

設N(x,y)(x＞0),則N′(x,0),M′(-p,0),

∵M、O、N三點共線,

∴

由

∵x＞0,p＞0,將上式整理化簡為

(p²-1)x²+p²y²-2px-p²=0(x＞0).

(2)當p=1時,N點軌跡為y²=2x+1(x＞0),

設N(x,y),M(-1,t).

由M、O、N共線,

得∴M(-1,-).

則|MN|=

=x++2≥2+2=4.

當且僅當x=,即x=1時,等式成立.

∴當x=1時,|MN|最小值為4.

綠色通道：

本題關鍵在于能否建立合理的等式,再將等式轉化為用動點坐標(x,y)來表示,即可求得動點的軌跡方程.