Question

設橢圓的焦點在軸上, 分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓在第一象限內的點，直線交軸于點，
（1）當時，
（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；
（2）當點P在直線上時，求直線與的夾角;
（2） 當時，若總有，猜想:當變化時，點是否在某定直線上，若是寫出該直線方程（不必求解過程）．

Answer 1

（1），（2）．

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、直線的方程、兩直線垂直的充要條件等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力．第一問，（ⅰ）利用橢圓的定義及離心率列出方程，得到橢圓方程中的基本量a，b，從而得到橢圓的標準方程；（ⅱ）設出P點坐標、設出點坐標，點P在橢圓上且在直線上，得到的值，從而得到和，由于Q點是直線與y軸的交點，所以先得到直線的方程，再得到Q點坐標，從而得到，由于，所以判斷F₁P⊥F₁Q；第二問，由第（ⅱ）問的證明，可以猜想方程．
試題解析：（1）（1） ，，，解得＝．故橢圓E的方程為．     4分
（2）設， ，，其中．由題設知，
將直線代入橢圓E的方程，由于點在第一象限，解得      6分
則直線F₁P的斜率＝，直線F₂P的斜率＝，
故直線F₂P的方程為y＝．當x＝0時，y＝，
即點Q坐標為．因此，直線F₁Q的斜率為＝．
所以＝＝－1．
所以F₁P⊥F₁Q，                           10分
（2）點P過定直線，方程為         13分