Question

如圖所示，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于在河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一：根據題意知只有點C在線段AD上某一適當位置才能使總運費最�。�設C點距D點x km，則 　　∵BD＝40，AC＝50－x， 　　∴BC＝． 　　又設總的水管費用為y元，依題意有 　　y＝3a(50－x)＋5a(0＜x＜50)． 　　＝，令＝0，解得x＝30． 　　在(0，50)上，y只有一個極值點，根據實際問題的意義，函數在x＝30 km處取得最小值，此時AC＝50－x＝20(km)． 　　∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處可使水管費用最省． 　　方法二：設∠BCD＝，則BC＝，CD＝40·cot(0＜＜)， 　　∴AC＝50－40·cot． 　　設總的水管費用為f()，依題意，有 　　f()＝3a(50－40·cot)＋5a· 　�。�150a＋40a· 　　∴()＝40a·． 　　令()＝0，得cos＝． 　　根據問題的實際意義，當cos＝時，函數取得最小值，此時sin＝．∴cot＝． 　　∴AC＝50－40cot＝20(km)， 　　即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處可使水管費用最省． 　　思路分析：根據題設條件作出圖形，分析各已知條件之間的關系，借助圖形特征合理選擇這些條件間的聯系方式，適當選擇變元，構建相應的函數關系，通過求導的方法或其他方法求出函數的最小值，可確定點C的位置．

提示：

本題除正確掌握用導數解實際應用題的方法和步驟外，還應有運用與三角函數結合的能力．