Question

已知冪函數f（x）=x^9-3m（m∈N^*）的圖象關于原點對稱，且在R上函數值隨x的增大而增大．
（1）求f（x）表達式；
（2）求滿足f（a+1）+f（2a-3）＜0的a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數在（0，+∞）上遞增，可得9-3m＞0，再由m∈N^*，且3m-9為奇數，可得m的值，
從而得到f（x）的解析式．
（2）由題意可得不等式即f（a+1）＜f（3-2a），根據函數在R上遞增，可得a+1＜3-2a，
由此求得a的范圍．

解答：解：（1）∵函數在（0，+∞）上遞增，∴9-3m＞0，解得m＜3．
又m∈N^*，∴m=1，2．
又函數的圖象關于原點對稱，∴3m-9為奇數，故m=2，故f（x）=x³ ．
（2）∵f（a+1）+f（2a-3）＜0，∴f（a+1）＜-f（2a-3）．
又f（x）為奇函數，∴f（a+1）＜f（3-2a），
又函數在R上遞增，∴a+1＜3-2a，
解得a＜

2

3

，即a的范圍為（-∞，

2

3

）．

點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的應用，求函數的解析式的方法，屬于中檔題．