Question

一束光線從點（0，1）出發，經過直線x+y-2=0反射后，恰好與橢圓x2+

y2

2

=1相切，則反射光線所在的直線方程為

 

．

Answer 1

分析：求出（0，1）關于x+y-2=0的對稱點，分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用根的判別式，即可得出結論．

解答：解：設（0，1）關于x+y-2=0的對稱點為（a，b），則

b-1 a-0 =1 a 2 + b+1 2 -2=0

，
∴a=1，b=2．
當反射光線斜率不存在時，方程為x=1，滿足題意；
當反射光線斜率存在時，設方程為y-2=k（x-1），即y=kx-k+2，
代入橢圓方程，整理可得（2+k²）x²+2k（2-k）x+2-4k+k²=0，
∵反射光線與橢圓x2+

y2

2

=1相切，
∴△=4k²（2-k）²-4（2+k²）（2-4k+k²）=0，
∴k=

1

2

，
∴所求方程為x-2y+3=0．
綜上，所求方程為x-2y+3=0或x=1．
故答案為：x-2y+3=0或x=1．

點評：本題考查點關于直線的對稱點的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．