Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在處的切線過點，求的解析式；

（2）若函數在上單調遞減，求實數取值范圍；

（3）若函數在上的最小值為，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）．（3）

【解析】

（1）求導后可得切線方程為，則，解出即可；

（2）由題意得在上恒成立，即在上恒成立，由此可求；

（3），，分類討論：

①若，則在上是增函數，則（舍去）；

②若，則在上是減函數，在上是增函數，，解得（符合）；

③若，則在上是減函數，（舍去）．

解：（1），，，

切線方程為，

又因為切線過點，所以，解得，

所以的解析式為；

（2）∵在上是減函數，又，

∴在上恒成立，即在上恒成立，

所以實數的取值范圍為；

（3）由（2）得，，

①若，則，即在上恒成立，此時在上是增函數，

所以（舍去）；

②若，令，得，

當時，，所以在上是減函數，

當時，，所以在上是增函數，

所以，解得（符合要求）；

③若，則，即在上恒成立，此時在上是減函數，

所以，所以（舍去）；

綜上：．