Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，過F作直線交拋物線C于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線，兩條切線交于點P.

（1）若P的坐標為，求直線的斜率；

（2）若P始終不在橢圓的內部（不包括邊界），求外接圓面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）設，與拋物線方程聯立，得到，，分別求在點處的切線方程，并且切線的交點，利用，求解參數和直線的斜率；

（2）由（1）可知，得到，并表示外接圓的半徑，并且，代入橢圓得到，綜合求得外接圓的半徑的最小值.

（1）記，，

設，由 可得方程，

由韋達定理可知，，

設拋物線在處的切線，

由可得，

故即 ，

故，故，同理，

聯立解得，結合題意解得，，故.

（2）由（1）知兩條切線的斜率之積為，即，

則的外接圓半徑即為

又由題意知，即，可知

所以外接圓的半徑最小值為1，故外接圓的最小面積為.