Question

（2013•石家莊二模）已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=

1

(an+1)2-a

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知(a2)2=a1•a4，a₁=2，利用通項(xiàng)公式即可得到（2+d）²=2（2+3d），解出即可．
（II）利用（I）即可得出b_n=

1

4n(n+1)

，再利用裂項(xiàng)求和即可得出T_n．

解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由(a2)2=a1•a4，
又首項(xiàng)為2，得（2+d）²=2（2+3d），化為d²-2d=0．
因?yàn)閐≠0，所以d=2，
所以a_n=2n．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，由（Ⅰ）知a_n=2n，
所以b_n=

1

(an+1)2-a

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
所以T_n=

1

4

(1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

，
即數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

n

4(n+1)

．

點(diǎn)評：熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、及裂項(xiàng)求和是解題的關(guān)鍵．