Question

在正項數(shù)列{a_n}中，令S_n=．
（Ⅰ）若{a_n}是首項為25，公差為2的等差數(shù)列，求S₁₀₀；
（Ⅱ）若（P為正常數(shù)）對正整數(shù)n恒成立，求證{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅲ）給定正整數(shù)k，正實數(shù)M，對于滿足a₁²+a_k+1²≤M的所有等差數(shù)列{a_n}，求T=a_k+1+a_k+2+…a_2k+1的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列的定義進行轉化是解決本題的關鍵，用好分母有理化的思想進行相消求和；
（Ⅱ）利用等差數(shù)列的定義或者等差中項的辦法進行等差數(shù)列的判定是解決本題的關鍵，尋找相鄰項的關系是解決該題的突破口；
（Ⅲ）將所求的和利用等差數(shù)列前n項和公式進行等價變形是解決本題的關鍵．
解答：（Ⅰ）解：由題意，利用等差數(shù)列的公差為2，得到，
所以．
（Ⅱ）證：令n=1得到，則p=1．
由于S_n==（1），
S_n+1==（2），
（2）-（1），將p=1代入整理得=，
化簡得（n+1）a_n+1-na_n+2=a₁（3）
（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+3=a₁（4），
（4）-（3）得a_n+1+a_n+3=2a_n+2對任意的n≥1都成立．
在（3）中令n=1得到，a₁+a₃=2a₂，從而{a_n}為等差數(shù)列．
（Ⅲ）記t=a_k+1，公差為d，
則T=a_k+1+a_k+2+…a_2k+1=（k+1）t+，則，M≥a₁²+a_k+1²=t²+（t-kd）²=
則，
當且僅當，即時等號成立．
點評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，屬于競賽性質(zhì)的題目，有一定的難度，理解各式之間的聯(lián)系，善于把握式子的等價變形是解決該問題的關鍵．用到分母有理化等處理根式問題的方法．