Question

在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=6，點(diǎn)An(an，

an+1

)在拋物線y²=x+1上；在數(shù)列{b_n}中，數(shù)列前n項(xiàng)的和為S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；n為奇數(shù)n為偶數(shù)
（Ⅱ）若f(n)=

an bn

，問是否存在k∈N^*，使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將點(diǎn)An(an，

an+1

)代入y²=x+1中，得a_n+1=a_n+1，由此能求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(n)=

n+5，n為奇數(shù) 2n+1，n為偶數(shù)

，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，k+27為奇數(shù)，由此求出k=4；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，k+27為偶數(shù)，k=

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2

（舍）．綜上，存在唯一的k=4符合條件．

解答：解：（Ⅰ）將點(diǎn)An(an，

an+1

)代入y²=x+1中，
得a_n+1=a_n+1，
a_n+1-a_n=d=1，
a_n=a₁+（n-1）×1=n+5，
直線L：y=2x+1，
∴b_n=2n+1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(n)=

n+5，n為奇數(shù) 2n+1，n為偶數(shù)

，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，k+27為奇數(shù)，
∵f（k+27）=4f（k）
k+27+5=4（2k+1），
∴k=4
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，k+27為偶數(shù)，
2（k+27）+1=4（k+5），
∴k=

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2

（舍）．
綜上，存在唯一的k=4符合條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和實(shí)數(shù)k是否存在的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．