Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長為2

2

，離心率e=

2

2

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點B（2，0）的直線l（斜率不等于零）與橢圓C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），且△OBE與△OBF的面積之比為

1

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的標準方程，根據離心率求得a和c的關系，根據長軸長求得a，進而求得c，則b可求的，橢圓的方程可得．
（2）設直線l方程，與橢圓方程聯立消去x，根據判別式大于0氣度而m的一個范圍，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）利用韋達定理可分別表示出y₁y₂和y₁+y₂，根據三角形面積之比求得

|BE|

|BF|

=

1

2

由此可知，

BF

=2

BE

，即y₂=2y₁．代入y₁y₂和y₁+y₂中，進而求得m的范圍．

解答：解：（1）橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知得

e= c a = 2 2 2a=2 2 a2=b2+c2

，
解得a=

2

，b =1，c=1，
∴所求橢圓的方程為

x2

2

+y2=1，
（2）由題意知l的斜率存在且不為零，
設l方程為x=my+2（m≠0）①，代入

x2

2

+y2=1，整理得（m²+2）y²+4my+2=0，由△＞0得m²＞2．
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），則

y1+y2= -4m m2+2 y1y2= 2 m2+2

=2 ②
由已知，

S△OBE

S△OBF

=

1

2

，則

|BE|

|BF|

=

1

2

，
由此可知，

BF

=2

BE

，即y₂=2y₁．
代入 ②得，

3y1= -4m m2+2 2y12= 2 m2+2

，消去y₁得

2

9

•

16m2

(m2+2)2

=

2

m2+2

，
解得，m2=

18

7

，滿足m²＞2．
即m=±

3 14

7

．
所以，所求直線l的方程7x-3

14

y-14=0或7x+3

14

y-14=0．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍．