Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）若函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于1，求證：．
（2）若x∈[0，1]，則函數y=f（x）的圖象上的任意一點的切線的斜率為k，求證：成立的充要條件．

Answer 1

解：（1）設函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），
不妨設x₁＞x₂，
則，即＜1，
∴＜1
整理得：x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0
∵x₁∈R
∴△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+1）＜0即3x₂²-2ax₂-a²+4＞0
∵x₂∈R
∴△=4a²-12（-a²+4）＜0即a²-3＜0
∴-
（2）k=f'（x）=-3x²+2ax，則當x∈[0，1]時，|k|≤1?-1≤-3x²+2ax≤1
?或或
解得：1≤a≤，故|k|≤1成立的充要條件是．
分析：（1）設函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），不妨設x₁＞x₂，利用圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于1，推出：x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0，通過兩次△＜0推出-
（2）通過函數的導數就是函數y=f（x）的圖象上的任意一點的切線的斜率為k，利用|k|≤1，與相互充要故選證明即可．
點評：本題考查函數的導數與切線的斜率的關系，充要條件的應用，考查轉化思想，計算能力．