Question

（04年全國卷Ⅱ理）(12分)

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，已知a₁＝1，a_n＋1＝S_n（n＝1，2，3，…）．證明：

(Ⅰ)數(shù)列{}是等比數(shù)列；

(Ⅱ)S_n＋1＝4a_n．

Answer 1

解析：（I）證： 由a₁=1,a_n+1=S_n(n=1,2,3，…)，

知a₂=S₁=3a₁,, ,∴

又a_n+1=S_n+1-S_n(n=1,2,3，…),則S_n+1-S_n=S_n(n=1,2,3，…)，∴nS_n+1=2(n+1)S_n, (n=1,2,3，…).故數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列

（II）解：由（I）知，，于是S_n+1=4(n+1)?=4a_n(n)

又a₂=3S₁=3,則S₂=a₁+a₂=4=4a₁,因此對于任意正整數(shù)n≥1都有S_n+1=4a_n.