Question

【題目】已知橢圓C:（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（－，0）、F2（，0）.點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點N的坐標為（3，2），點P的坐標為（m，n）（m≠3）.過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，設直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，試求m，n滿足的關系式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）m－n－1＝0

【解析】

試題（1）利用M與短軸端點構成等腰直角三角形，可求得b的值，進而得到橢圓方程；（2）設出過M的直線l的方程，將l與橢圓C聯立，得到兩交點坐標關系，然后將k1＋k3表示為直線l斜率的關系式，化簡后得k1＋k3＝2，于是可得m，n的關系式.

試題解析：（1）由題意，c＝，b＝1，所以a＝

故橢圓C的方程為

（2）①當直線l的斜率不存在時，方程為x＝1，代入橢圓得，y＝±

不妨設A（1，），B（1，－）

因為k1＋k3＝＝2

又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1

所以m，n的關系式為＝1，即m－n－1＝0

②當直線l的斜率存在時，設l的方程為y＝k（x－1）

將y＝k（x－1）代入，

整理得：（3k2＋1）x2－6k2x＋3k2－3＝0

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

又y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1）

所以k1＋k3＝

＝

＝

＝

＝＝2

所以2k2＝2，所以k2＝＝1

所以m，n的關系式為m－n－1＝0

綜上所述，m，n的關系式為m－n－1＝0.