Question

【題目】已知函數，.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的單調區間；

（3）判斷函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案見解析（3）答案見解析

【解析】

（1）設曲線在點，處的切線的斜率為，可求得，，利用直線的點斜式方程即可求得答案；

（2）由（Ⅰ）知，，分時，，三類討論，即可求得各種情況下的的單調區間為；

（3）分與兩類討論，即可判斷函數的零點個數．

（1），

，

設曲線在點，處的切線的斜率為，

則，

又，

曲線在點，處的切線方程為：，即；

（2）由（1）知，，

故當時，，所以在上單調遞增；

當時，，；，，；

的遞減區間為，遞增區間為，；

當時，同理可得的遞增區間為，遞減區間為，；

綜上所述，時，單調遞增為，無遞減區間；

當時，的遞減區間為，遞增區間為，；

當時，的遞增區間為，遞減區間為，；

（3）當時，恒成立，所以無零點；

當時，由，得：，只有一個零點．