Question

已知向量

OA

=(k，2)，

OB

=(2，5)，

OC

=(k-1，9)，且

AB

⊥

BC

，則

AB

與

AC

夾角的余弦值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的三個(gè)向量，寫出要用到的向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)向量垂直，得到數(shù)量積為0，解出坐標(biāo)中的k，得到要求夾角余弦的向量，根據(jù)夾角公式代入求值，注意多解不要漏掉．

解答：解：∵

OA

=(K，2)，

OB

=(2，5)，

OC

=(K-1，9)
∴

AB

=

OB

-

OA

=（2-K，3），

BC

=

OC

-

OB

=（K-3，4），
∵

AB

⊥

BC

，
∴（2-K）（K-3）+12=0
∴K=6或K=-1，
當(dāng)K=6時(shí)，

AB

=(-4，3)，

AC

=(-1，7)
∴cosθ=

4+21

25 50

=

2

2

；
當(dāng)k=-1時(shí)，

AB

=(3，3)，

AC

=(-1，7)
∴cosθ=

18

18 50

=

3

5

，
綜上有兩向量夾角的余弦是

2

2

或

3

5

，
故答案為：

2

2

或

3

5

．

點(diǎn)評：通過向量的坐標(biāo)表示實(shí)現(xiàn)向量問題代數(shù)化，注意與方程、函數(shù)等知識(shí)的聯(lián)系，一般的向量問題的處理有兩種思路，一種是純向量式的，另一種是坐標(biāo)式，兩者互相補(bǔ)充．