Question

12．一條光線從點A（0，2）射入，與x軸相交于點B（2，0），經x軸反射后過點C（m，1），直線l過點C且分別與x軸和y軸的正半軸交于P，Q兩點，O為坐標原點，則當△OPQ的面積最小時直線l的方程為（

• A． x+$\frac{y}{3}$=1
• B． $\frac{x}{6}$+$\frac{y}{2}$=1
• C． $\frac{x}{4}$+$\frac{y}{4}$=1
• D． $\frac{x}{12}$+$\frac{3y}{4}$=1

Answer 1

分析 求出C的坐標，利用基本不等式，即可求出當△OPQ的面積最小時直線l的方程．

解答 解：直線AB的斜率為-1，
則反射光線所在的直線方程為y=x-2，代入點C得m=3，即C（3，1）．
設直線l的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），
則△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$ab，且$\frac{3}{a}$+$\frac{1}$=1≥2$\sqrt{\frac{3}{ab}}$，即有ab≥12，
當且僅當$\frac{3}{a}$=$\frac{1}$，即a=6，b=2等號成立，
此時△OPQ的面積S取最小值6，直線l的方程為$\frac{x}{6}$+$\frac{y}{2}$=1．
故選B．

點評 考查用截距式求直線方程的方法，基本不等式的應用，正確運用基本不等式是解題的關鍵．