Question

對于向量a，b，定義a×b為向量a，b的向量積，其運算結果為一個向量，且規定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ為向量a與b的夾角），a×b的方向與向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次構成右手系．如圖，在平行六面體ABCD-EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，則=（ ）

A．4
B．8
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據題意和向量積定義，判斷出向量的方向且垂直平面ABCD，由數量積的運算需要求出向量和所成角θ的余弦值，即由題意作EI⊥AC于I，則＜AEI=θ，過I作IJ⊥AD于J，連EJ，由三垂線逆定理可得EJ⊥AD，在直角三角形求出cosθ的值和向量的模，最后代入向量積和數量積定義求解．
解答：解：據向量積定義知，向量垂直平面ABCD，且方向向上，設與所成角為θ．
∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，
∴點E在底面ABCD上的射影在直線AC上．
作EI⊥AC于I，則EI⊥面ABCD，∴θ+∠EAI=．
過I作IJ⊥AD于J，連EJ，由三垂線逆定理可得EJ⊥AD．
∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，EJ=．
又∵∠CAD=30°，IJ⊥AD，∴AI=．
∵AE=2，EI⊥AC，∴cos∠EAI==．
∴sinθ==cos∠EAI=，cosθ=．
故=||||sin∠BAD||cosθ=8××=，
故選D．
點評：本題是新定義題目，需要抓住新定義中的本質找到解題的關鍵點，即的方向和具體位置，根據圖形和條件作出并加以證明，還需要利用幾何知識和向量數量積的運算進行求解，考查分析問題和解決問題的能力．