Question

對于向量a，b，定義a×b為向量a，b的向量積，其運算結果為一個向量，且規(guī)定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ為向量a與b的夾角），a×b的方向與向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次構成右手系．如圖，在平行六面體ABCD-EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，則(

AB

×

AD

)•

AE

=（　　）

• A、4
• B、8
• C、2

  2

• D、4

  2

Answer 1

分析：根據(jù)題意和向量積定義，判斷出向量

AB

×

AD

的方向且垂直平面ABCD，由數(shù)量積的運算需要求出向量

AB

×

AD

和

AE

所成角θ的余弦值，即由題意作EI⊥AC于I，則＜AEI=θ，過I作IJ⊥AD于J，連EJ，由三垂線逆定理可得EJ⊥AD，在直角三角形求出cosθ的值和向量的模，最后代入向量積和數(shù)量積定義求解．

解答：解：據(jù)向量積定義知，向量

AB

×

AD

垂直平面ABCD，且方向向上，設

AB

×

AD

與

AE

所成角為θ．
∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，
∴點E在底面ABCD上的射影在直線AC上．
作EI⊥AC于I，則EI⊥面ABCD，∴θ+∠EAI=

π

2

．
過I作IJ⊥AD于J，連EJ，由三垂線逆定理可得EJ⊥AD．
∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，EJ=

3

．
又∵∠CAD=30°，IJ⊥AD，∴AI=

2 3

3

．
∵AE=2，EI⊥AC，∴cos∠EAI=

AI

AE

=

3

3

．
∴sinθ=sin(

π

2

-∠EAI)=cos∠EAI=

3

3

，cosθ=

6

3

．
故(

AB

×

AD

)•

AE

=|

AB

||

AD

|sin∠BAD|

AE

|cosθ=8×

3

2

×

6

3

=4

2

，
故選D．

點評：本題是新定義題目，需要抓住新定義中的本質(zhì)找到解題的關鍵點，即

AB

×

AD

的方向和具體位置，根據(jù)圖形和條件作出并加以證明，還需要利用幾何知識和向量數(shù)量積的運算進行求解，考查分析問題和解決問題的能力．