Question

已知函數f（x）=

-x2-2x，(x≤0) x，(x＞0)

，若函數g（x）=f（x）-m有3個零點，則實數m的取值范圍是

（0，1）

．

Answer 1

分析：函數g（x）=f（x）-m有3個零點，即方程f（x）=m有3個根．因此，在同一坐標系內作出y=f（x）的圖象與直線y=m，觀察它們公共點的個數即可得到本題的答案．

解答：解：∵函數g（x）=f（x）-m有3個零點，
∴y=f（x）的圖象與直線y=m有3個公共點
同一坐標系內作出它們的圖象，如圖
曲線y=f（x）在y軸左側是開口向下的拋物線，
右側是第一象限角平分線
∴y=f（x）在（-∞，-1）和（0，+∞）上是增函數，
在（-1，0）上是減函數
由此可得f（x）的極大值為f（-1）=1；極小值為f（0）=0
平移直線y=m，可得當m＜0或m＞1時，兩個曲線有且僅有1個公共點；
當m=0或1時，兩個曲線有2個公共點；當0＜m＜1時，兩個曲線有3個公共點，此時f（x）=m有3個實數根
綜上所述，若g（x）=f（x）-m有3個零點，實數m的取值范圍是（0，1）
故答案為：（0，1）

點評：本題給出分段函數，討論了函數零點的個數．著重考查了基本初等函數的圖象與性質、函數的零點與方程根的關系等知識，屬于基礎題．