Question

設橢圓C：過點（0，4），離心率為
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意，將（0，4）代入C的方程得b的值，進而由橢圓的離心率為，結合橢圓的性質，可得=；解可得a的值，將a、b的值代入方程，可得橢圓的方程．
（Ⅱ）根據題意，可得直線的方程，設直線與C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線與橢圓的方程，化簡可得方程x²-3x-8=0，解可得x₁與x₂的值，由中點坐標公式可得中點的橫坐標，將其代入直線方程，可得中點的縱坐標，即可得答案．
解答：解：（Ⅰ）根據題意，橢圓過點（0，4），
將（0，4）代入C的方程得，即b=4
又得=；
即，∴a=5
∴C的方程為

（Ⅱ）過點（3，0）且斜率為的直線方程為，
設直線與C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入C的方程，得，
即x²-3x-8=0，解得，，
∴AB的中點坐標，
，
即中點為．
點評：本題考查橢圓的性質以及橢圓與直線相交的有關性質，涉及直線與橢圓問題，一般要聯立兩者的方程，轉化為一元二次方程，由韋達定理分析解決．