Question

設橢圓C：過點（0，4），離心率為
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求過點（3，0）的動直線被C所截線段的中點軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓C：過點（0，4），離心率為，知，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設過點（3，0）的直線交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設AB的中點為M（x，y），利用點差法能夠求出過點（3，0）的動直線被C所截線段的中點軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C：過點（0，4），離心率為，
∴，解得a=5，b=4，c=3，
∴橢圓C的方程是．
（Ⅱ）設過點（3，0）的直線交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設AB的中點為M（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓16x²+25y²=400，
得
①-②，得16（x₁+x₂）（x₁-x₂）+25（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴32x（x₁-x₂）+50y（y₁-y₂）=0，
∴直線AB的斜率k==-，
∵直線AB過點（3，0），M（x，y），
∴直線AB的斜率k=，
∴-=，整理，得16x²+25y²-48x=0．
當k不存在時，16x²+25y²-48x=0也成立．
故過點（3，0）的動直線被C所截線段的中點軌跡方程是16x²+25y²-48x=0．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點的軌跡方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意點差法的合理運用．