Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）當a＞0時，函數f（x）滿足f（x）_極小值=1，f（x）_極大值=，試求y=f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，1]時，設f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，若a∈[，]且a為常數，求θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導函數，確定函數的單調性，再利用f（x）_極小值=1，f（x）_極大值=，建立方程，從而可求y=f（x）的解析式；
（2）先求導函數，根據a∈[，]，可確定斜率的范圍，從而可確定傾斜角θ的取值范圍．
解答：解：（1）由f′（x）=-3x²+2ax（a＞0），
令f′（x）=0，得x=0或x=a．…（1分）
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）		（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-		+		-
f（x）	↘	b	↗	f（a）	↘

∴當x=0時，f（x）_極小值=f（0）=b=1，當x=a時，f（x）_極大值==，…（4分）
解得b=1，a=1．
∴f（x）=-x³+x²+1．…（6分）
（2）tanθ=f′（x）=-3x²+2ax=，…（7分）
∵a∈[，]，
∴≤≤．
∵x∈[0，1]，
∴f′（0）≤f′（x）≤f′（）．…（10分）
∴0≤f′（x）≤，即0≤tanθ≤，
∵0≤θ≤π，∴θ∈[0，arctan]，
∴θ的取值范圍是[0，arctan]．…（12分）
點評：本題主要考查了導數的運用，考查函數的極值，導數的幾何意義，解題的關鍵是明確導數的幾何意義．