Question

設實數a＞1，若僅有一個整數C使得對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]滿足方程log_ax+log_ay=C，則a的取值范圍為{2}．

Answer 1

分析：由log_ax+log_ay=c可以用x表達出y，轉化為函數的值域問題求解．

解答：解：∵log_ax+log_ay=c，
∴log_axy=c
∴xy=a^c
得y=

ac

x

，單調遞減，
所以當x∈[a，2a]時，y∈[

ac-1

2

，ac-1]
所以

ac-1 2 ≥a ac-1≤a2

，
所以

c≥2+loga2 c≤3

因為有且只有一個整數c符合題意，所以2+log_a2=3，解得a=2，
所以a的取值的集合為{2}．
故答案為：{2}．

點評：本題考查函數與方程思想，需要有較強的轉化問題的能力．