Question

試證：當n為正整數時，f(n)=3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除.

Answer 1

證明略

證明 方法一 （1）當n=1時，f(1)=3⁴-8-9=64,
命題顯然成立.
（2）假設當n="k" (k≥1,k∈N^*)時，
f(k)=3^2k+2-8k-9能被64整除.
由于3^2(k+1)+2-8(k+1)-9=9(3^2k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(3^2k+2-8k-9)+64(k+1)
即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)
∴n=k+1時命題也成立.
根據（1）（2）可知，對任意的n∈N^*，命題都成立.
方法二 （1）當n=1時，f(1)=3⁴-8-9=64，命題顯然成立.
（2）假設當n="k" (k≥1,k∈N^*)時，f(k)=3^2k+2-8k-9能被64整除.
由歸納假設，設3^2k+2-8k-9=64m(m為大于1的自然數)，將3^2k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得
f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),
∴n=k+1時命題成立.
根據（1）（2）可知，對任意的n∈N^*,命題都成立.