Question

已知數列{a_n}中，a1=

2

2

，an+1=

n+1 n+2

an(n=1，2，…)．計算a₂，a₃，a₄的值，根據計算結果，猜想a_n的通項公式，并用數學歸納法進行證明．

Answer 1

根據已知，a2=

3

3

，a3=

4

4

=

1

2

，a4=

5

5

，
猜測an=

n+1

n+1

．…（3分）
證明：①當n=1時，由已知，左邊=

2

2

，右邊=

1+1

1+1

=

2

2

，猜想成立．…（4分）
②假設當n=k（k∈N^*）時猜想成立，即ak=

k+1

k+1

，…（5分）
那么，ak+1=

k+1 k+2

ak=

k+1 k+2

•

k+1

k+1

=

1

k+2

=

k+2

k+2

=

(k+1)+1

(k+1)+1

，…（7分）
所以，當n=k+1時，猜想也成立．
根據①和②，可知猜想對于任何n∈N^*都成立．…（8分）