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如圖,在一個(gè)奧運(yùn)場(chǎng)館建設(shè)現(xiàn)場(chǎng),現(xiàn)準(zhǔn)備把一個(gè)半徑為m的球形工件吊起平放到6m高的平臺(tái)上,工地上有一個(gè)吊臂長(zhǎng)DF=12m的吊車(chē),吊車(chē)底座FG高1.5m.當(dāng)物件與吊臂接觸后,鋼索CD長(zhǎng)可通過(guò)頂點(diǎn)D處的滑輪自動(dòng)調(diào)節(jié)并保持物件始終與吊臂接觸.求物件能被吊車(chē)吊起的最大高度,并判斷能否將該球形工件吊到平臺(tái)上?

【答案】分析:吊車(chē)能把球形工件吊上的高度y取決于吊臂的張角設(shè)此角為θ,由圖可知y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5,進(jìn)而可得y關(guān)于θ的關(guān)系式y(tǒng)=12sinθ,進(jìn)而求得導(dǎo)函數(shù)所以,令y/=0,可得根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系,轉(zhuǎn)化成關(guān)于tanθ的關(guān)系式,求得tanθ的值,進(jìn)而求得θ.故可推斷當(dāng)0°<θ<60°時(shí),y>0,判定y單調(diào)遞增,當(dāng)60°<θ<90°時(shí),y<0,y單調(diào)遞減,進(jìn)而可知θ=60°時(shí),y取最大值,求得此時(shí)y≈6.6,進(jìn)而可斷定吊車(chē)能把圓柱形工件吊起平放到6m高的橋墩上.
解答:解:由圖可知,y=AB+1.5=AD-OD-
所以
由y/=0,得


當(dāng)0°<θ<60°時(shí),
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同理,當(dāng)60°<θ<90°時(shí),y'<0,
所以當(dāng)0°<θ<60°時(shí),y單調(diào)遞增,當(dāng)60°<θ<90°時(shí),y單調(diào)遞減,
所以θ=60°時(shí),y取最大值.
所以吊車(chē)能把圓柱形工件吊起平放到6m高的橋墩上.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用.當(dāng)涉及最值問(wèn)題時(shí),可借助函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決.
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