Question

如圖，在一個奧運場館建設現場，現準備把一個半徑為m的球形工件吊起平放到6m高的平臺上，工地上有一個吊臂長DF=12m的吊車，吊車底座FG高1.5m．當物件與吊臂接觸后，鋼索CD長可通過頂點D處的滑輪自動調節并保持物件始終與吊臂接觸．求物件能被吊車吊起的最大高度，并判斷能否將該球形工件吊到平臺上？

Answer 1

【答案】分析：吊車能把球形工件吊上的高度y取決于吊臂的張角設此角為θ，由圖可知y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5，進而可得y關于θ的關系式y=12sinθ，進而求得導函數所以，令y^/=0，可得根據同角三角函數的關系，轉化成關于tanθ的關系式，求得tanθ的值，進而求得θ．故可推斷當0°＜θ＜60°時，y^′＞0，判定y單調遞增，當60°＜θ＜90°時，y^′＜0，y單調遞減，進而可知θ=60°時，y取最大值，求得此時y≈6.6，進而可斷定吊車能把圓柱形工件吊起平放到6m高的橋墩上．
解答：解：由圖可知，y=AB+1.5=AD-OD-．
所以
由y^/=0，得
∴，
∴，
當0°＜θ＜60°時，
12
同理，當60°＜θ＜90°時，y'＜0，
所以當0°＜θ＜60°時，y單調遞增，當60°＜θ＜90°時，y單調遞減，
所以θ=60°時，y取最大值.
所以吊車能把圓柱形工件吊起平放到6m高的橋墩上．
點評：本題主要考查解三角形的實際應用．當涉及最值問題時，可借助函數的單調性來解決．