Question

如圖，在一個(gè)奧運(yùn)場(chǎng)館建設(shè)現(xiàn)場(chǎng)，現(xiàn)準(zhǔn)備把一個(gè)半徑為

3

m的球形工件吊起平放到6m高的平臺(tái)上，工地上有一個(gè)吊臂長(zhǎng)DF=12m的吊車(chē)，吊車(chē)底座FG高1.5m．當(dāng)物件與吊臂接觸后，鋼索CD長(zhǎng)可通過(guò)頂點(diǎn)D處的滑輪自動(dòng)調(diào)節(jié)并保持物件始終與吊臂接觸．求物件能被吊車(chē)吊起的最大高度，并判斷能否將該球形工件吊到平臺(tái)上？

Answer 1

分析：吊車(chē)能把球形工件吊上的高度y取決于吊臂的張角設(shè)此角為θ，由圖可知y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5，進(jìn)而可得y關(guān)于θ的關(guān)系式y(tǒng)=12sinθ-

3

cosθ

-

3

+1.5，進(jìn)而求得導(dǎo)函數(shù)所以y/=12cosθ-

3 •sinθ

cos2θ

，令y^/=0，可得12cosθ=

3 sinθ

cos2θ

，4

3

cos3θ=sinθ根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成關(guān)于tanθ的關(guān)系式，求得tanθ的值，進(jìn)而求得θ．故可推斷當(dāng)0°＜θ＜60°時(shí)，y^′＞0，判定y單調(diào)遞增，當(dāng)60°＜θ＜90°時(shí)，y^′＜0，y單調(diào)遞減，進(jìn)而可知θ=60°時(shí)，y取最大值，求得此時(shí)y≈6.6，進(jìn)而可斷定吊車(chē)能把圓柱形工件吊起平放到6m高的橋墩上．

解答：解：由圖可知，y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5=DFsinθ-

3

cosθ

-

3

+1.5=12sinθ-

3

cosθ

-

3

+1.5．
所以y/=12cosθ-

3 •sinθ

cos2θ

由y^/=0，得12cosθ=

3 sinθ

cos2θ

，4

3

cos3θ=sinθ
∴4

3

=tanθ(1+tan2θ)，tan3θ+tanθ-4

3

=0，tan3θ-(

3

)3+tanθ-

3

=0(tanθ-

3

)(tan2θ-

3

tanθ+4)=0，
∴tanθ=

3

，θ=600，
當(dāng)0°＜θ＜60°時(shí)，
12cos3θ＞

3

2

，

3

sinθ＜

3

2

，∴y′＞0
同理，當(dāng)60°＜θ＜90°時(shí)，y'＜0，
所以當(dāng)0°＜θ＜60°時(shí)，y單調(diào)遞增，當(dāng)60°＜θ＜90°時(shí)，y單調(diào)遞減，
所以θ=60°時(shí)，y取最大值.ymax=12sinθ-

3

cosθ

-

3

+1.5=3

3

+1.5≈6.6(m)
所以吊車(chē)能把圓柱形工件吊起平放到6m高的橋墩上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問(wèn)題時(shí)，可借助函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決．