Question

三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A₁B₁C₁，，A₁A⊥平面
ABC，，，AC=2，，。

（Ⅰ）證明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求AA₁與平面BCC₁B₁所成角的正弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標系， 則， ∵BD：DC=1：2， ∴， ∴D點的坐標為， ∴，， ， ，， ∴，， 又， ∴BC⊥平面， 又平面， ∴平面平面。 （Ⅱ）設平面的法向量為，則， 即， 取，得， ∴， 因此，AA1與平面BCC1B1所成角的正弦值為。