Question

三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A₁B₁C₁，

∠BAC=90°,A₁A⊥平面ABC,A₁A=,AB=,AC=2,A₁C₁=1,=.

(1)證明:平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；

(2)求二面角A—CC₁—B的余弦值.

Answer 1

(1) 證明略(2) 二面角A—CC₁—B余弦值為.

解析:

方法一  (1)  ∵A₁A⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴A₁A⊥BC.

在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.

∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,

∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,

即AD⊥BC.

又A₁A∩AD=A,∴BC⊥平面A₁AD.

∵BC平面BCC₁B₁,∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.

(2) 如圖①,作AE⊥C₁C交C₁C于E點,連接BE,由已知得AB⊥平面ACC₁A₁,

∴AE是BE在平面ACC₁A₁內的射影.

由三垂線定理知BE⊥CC₁,

∴∠AEB為二面角A—CC₁—B的平面角.                                                  圖①

過C₁作C₁F⊥AC交AC于F點,

則CF=AC-AF=1,

C₁F=A₁A=,∴∠C₁CF=60°.

在Rt△AEC中,

AE=ACsin60°=2×=,

在Rt△BAE中,tan∠AEB===,

∴cos∠AEB=,

即二面角A—CC₁—B余弦值為.

方法二  (1)  如圖②,建立空間直角坐標系,

圖②

則A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),

A₁(0,0,),C₁(0,1, ).

∵BD∶DC=1∶2,∴=,

∴D點坐標為,

∴=, =(-,2,0),=(0,0,).

∵·=0，·=0，

∴BC⊥AA₁，BC⊥AD.又A₁A∩AD=A，

∴BC⊥平面A₁AD.又BC平面BCC₁B₁，

∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.

（2）  ∵BA⊥平面ACC₁A₁，取m==(,0,0)為平面ACC₁A₁的法向量.

設平面BCC₁B₁的法向量為n=(x,y,z),

則·n=0，·n=0，

∴

∴x=y，z=，可取y=1，則n=，

cos〈m,n〉=

=,

即二面角A—CC₁—B的余弦值為.