Question

三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，，，AC=2，A₁C₁=1，．
（Ⅰ）證明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求二面角A-CC₁-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁，根據面面垂直的判定定理可知在平面BCC₁B₁內一直線與平面A₁AD垂直，根據線面垂直的性質可知A₁A⊥BC，AD⊥BC，又A₁A∩AD=A，根據線面垂直的判定定理可知BC⊥平面A₁AD，而BC?平面BCC₁B₁，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）作AE⊥C₁C交C₁C于E點，連接BE，由三垂線定理知BE⊥CC₁，從而∠AEB為二面角A-CC₁-B的平面角，過C₁作C₁F⊥AC交AC于F點，在Rt△BAE中，求出二面角A-CC₁-B的平面角即可．
解答：證明：（Ⅰ）∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁A⊥BC．在Rt△ABC中，，∴，
∵BD：DC=1：2，∴，又，
∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．
又A₁A∩AD=A，∴BC⊥平面A₁AD，∵BC?平面BCC₁B₁，∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁．

（Ⅱ）如圖，作AE⊥C₁C交C₁C于E點，連接BE，
由已知得AB⊥平面ACC₁A₁．∴AE是BE在面ACC₁A₁內的射影．
由三垂線定理知BE⊥CC₁，∴∠AEB為二面角A-CC₁-B的平面角．
過C₁作C₁F⊥AC交AC于F點，
則CF=AC-AF=1，，∴∠C₁CF=60°．
在Rt△AEC中，．
在Rt△BAE中，．∴，
即二面角A-CC₁-B為．
點評：本題主要考查平面與平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量，同時考查了空間想象能力，計算能力和推理能力，以及轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．