Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面，垂直于和，為棱上的點，.

（1）若為棱的中點，求證：平面；

（2）當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取線段的中點，連結，，推導出四邊形為平行四邊形，從而，由此能證明平面．

（2）以為坐標原點，建立分別以，，所在直線為軸，軸，軸的空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

（1）證明：取線段的中點，連接.

在中，為中位線

∴且，

∵且，

∴且

∴四邊形為平行四邊形.

∴.

∵平面平面，

∴平面.

（2）解：如圖所示以點為坐標原點，建立分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，

于是

設平面的一個法向量為，則，

將坐標代入并取，得.

另外易知平面的一個法向量為，

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦為.