Question

設動點A、B均在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右支上，點O為坐標原點，雙曲線C的離心率為e，則（　　）

• A、若e＞

  2

  ，則

  OA

  •

  OB

  存在最大值
• B、若1≤e≤

  2

  ，則

  OA

  •

  OB

  存在最大值
• C、若e＞

  2

  ，則

  OA

  •

  OB

  存在最小值
• D、若1＜e≤

  2

  ，則

  OA

  •

  OB

  存在最小值

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：取特例即等軸雙曲線分析，然后結合四個選項得答案．

解答： 解：當雙曲線的離心率為

2

時，雙曲線為等軸雙曲線，設其方程為x²-y²=a²，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁＞0，x₂＞0且x1x2＞a2，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂≥x1x2-

x12-a2

•

x22-a2

=x1x2-

(x1x2)2-a2(x12+x22)+a4

≥x1x2-

(x1x2)2-2a2x1x2+a4

=x1x2-

(x1x2-a2)2

=x1x2-|x1x2-a2|
=a²．
∴

OA

•

OB

存在最小值．
結合題目給出的四個選項，可得D正確．
故選：D．

點評：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質，考查了平面向量的數量積運算，是中檔題．