Question

1．設函數f（x）=x-a（x+1）ln（x+1）（a≥0）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）當a=1時，若方程f（x）-t=0在[-$\frac{1}{2}$，1]上有兩個實數解，求實數t的取值范圍；
（3）證明：當m＞n＞0時，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer 1

分析 （1）求導數，通過討論a的范圍，確定函數的單調性即可；
（2）由上知，f（x）在[-$\frac{1}{2}$，0]上單調遞增，在[0，1]上單調遞減，即可求實數t的取值范圍；
（3）設g（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$，求導數g'（x），根據x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）單調遞減，證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=1-aln（x+1）-a，
①當a=0時，f′（x）=1＞0，∴f（x）的單調遞增區間為（-1，+∞）；
②當a＞0時，由f′（x）＞0，解得：-1＜x＜${e}^{\frac{1-a}{a}}$-1，
由f′（x）＜0，解得：x＞${e}^{\frac{1-a}{a}}$-1，
∴f（x）的單調遞增區間為（-1，${e}^{\frac{1-a}{a}}$-1），單調遞減區間為（${e}^{\frac{1-a}{a}}$-1，+∞）；
（2）由上知，f（x）在[-$\frac{1}{2}$，0]上單調遞增，在[0，1]上單調遞減，
∵f（0）=0，f（1）=1-ln4，f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，
∴f（1）-f（-$\frac{1}{2}$）＜0，
∴t∈[-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，0），方程f（x）=t有兩解；
（3）證明：設g（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$，
則g'（x）=$\frac{x-（1+x）ln（1+x）}{{x}^{2}（1+x）}$，
由（1）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）單調遞減，
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是減函數，
而m＞n＞0，所以g（m）＜g（n），得 $\frac{ln（1+n）}{n}$＞$\frac{ln（1+m）}{m}$，
得mln（1+n）＞nln（1+m），故（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

點評 本題考查了函數的單調性，考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構造函數，是一個綜合題，題目難度中等．