Question

設(shè)a_n是(1-

x

)n（n=2，3，4，…）的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)，若b_n=

(n+1)an+2

an+1

，則b_n的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,二項(xiàng)式定理

分析：由已知可得a_n=

C

2 n

，由此求得b_n=n+

2

n

+3，根據(jù)y=n+

2

n

的單調(diào)性，可得n=2時(shí)，y取得最小值，從而求得b_n的最小值．

解答： 解：由(1-

x

)n（n=2，3，4，…）的通項(xiàng)公式
T_r+1=

C

r n

(-

x

)r，令r=2，則a_n=

C

2 n

，
則b_n=

(n+1)an+2

an+1

=

(n+1 )C 2 n+2

C 2 n+1

=

(n+1)• (n+2)(n+1) 2

(n+1)n 2

=

(n+1)(n+2)

n

=n+

2

n

+3，
由于y=n+

2

n

在（0，

2

）上是減函數(shù)，在（

2

，+∞）上是增函數(shù)，
且n=2，3，4，…，
則n=2時(shí)，y_min=2+1=3，則b_n的最小值是3+3=6．
故答案為：6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．