Question

已知函數f（x）=．
（Ⅰ）若函數f（x）在[1，+∞）上是增函數，求正實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1時，求函數f（x）在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）當a=1時，對任意的正整數n＞1，求證：，且不等式lnn＞都成立．

Answer 1

（I）解：由題設可得
∵函數f（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴當x∈[1，+∞）時，不等式即恒成立．
∵當x∈[1，+∞）時，的最大值為1，∴實數a的取值范圍是[1，+∞）；
（Ⅱ）解：當a=1時，
∴當時，f'（x）＜0，于是f（x）在上單調遞減；
當x∈（1，2]時，f'（x）＞0，于是f（x）在（1，2]上單調遞增．
又
綜上所述，當x=1時，函數f（x）在上的最小值為f（1）=0，當時，
函數f（x）在上的最大值為
（Ⅲ）證明：當a=1時，由（Ⅰ）知在[1，+∞）上是增函數
∴對于任意的正整數n＞1，有，則
而，
∴
∴．
而，
則成立
分析：（I）求導函數，利用函數f（x）在[1，+∞）上是增函數，可得當x∈[1，+∞）時，不等式恒成立，求出的最大值，即可得到實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1時，確定函數f（x）在上的單調性，即可求得函數的最大值與最小值；
（Ⅲ）當a=1時，由（Ⅰ）知在[1，+∞）上是增函數，可證明，疊加，即可證得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查不等式的證明，解題的關鍵是確定函數的單調性．