Question

對于任意實數(shù)a，關(guān)于x的方程log₂[2x²+（m+3）x+2m]=a總有實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是________．

Answer 1

{m|m≤1或m≥9}
分析：由對于任意實數(shù)a，關(guān)于x的方程log₂[2x²+（m+3）x+2m]=a總有實數(shù)解，知y=log₂[2x²+（m+3）x+2m]的值域為R．所以∴2x²+（m+3）x+2m必須至少取滿（0，+∞）．也就是說2x²+（m+3）x+2m的最小值要小于等于0．由此能求出實數(shù)m的取值范圍．
解答：∵對于任意實數(shù)a，關(guān)于x的方程log₂[2x²+（m+3）x+2m]=a總有實數(shù)解，
∴y=log₂[2x²+（m+3）x+2m]的值域為R．
∴2x²+（m+3）x+2m必須至少取滿（0，+∞）．
也就是說2x²+（m+3）x+2m的最小值要小于等于0．
對稱軸 x=，
最小值≤0，
即m²-10m+9≥0，
解得m≤1或m≥9．
∴數(shù)m的取值范圍是{m|m≤1或m≥9}．
故答案為：{m|m≤1或m≥9}．
點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．