Question

有以下四個命題：
①對于任意實數a、b、c，若a＞b，c≠0，則ac＞bc；
②設S_n 是等差數列{a_n}的前n項和，若a₂+a₆+a₁₀為一個確定的常數，則S₁₁也是一個確定的常數；
③關于x的不等式ax+b＞0的解集為（-∞，1），則關于x的不等式

bx-a

x+2

＞0的解集為（-2，-1）；
④對于任意實數a、b、c、d，若a＞b＞0，c＞d則ac＞bd．
其中正確命題的是

 

（把正確的答案題號填在橫線上）

Answer 1

分析：①舉一個反例，例如c=-1，代入即可判斷命題的真假；
②根據a₂+a₆+a₁₀為一個確定的常數，由等差數列的性質化簡得到a₆為一個確定的常數，然后把利用等差數列的前n項和公式表示出S₁₁，根據等差數列的性質化簡可得關于a₆的式子，從而得到S₁₁也為一個確定的常數，本選項為真命題；
③由ax+b＞0的解集為（-∞，1），得到a小于0，b大于0，且a與b互為相反數，即-a=b，代入所求的不等式中，分子提取b，根據b大于0，在不等式兩邊同時除以b化簡后，得到x+1與x+2同號，即可求出不等式的解集，作出判斷；
④舉一個反例，例如a=3，b=2，c=-

1

3

，d=-

1

2

，a＞b＞0，c＞d，但是ac=bd，本選項為假命題．

解答：解：①令c=-1時，在不等式a＞b兩邊同時乘以-1，得到-a＜-b，即ac＜bc，本選項為假命題；
②a₂+a₆+a₁₀=（a₂+a₁₀）+a₆=3a₆一個確定的常數，得到a₆為一個確定的常數，
則S₁₁=

11(a1+a11)

2

=11a₆為一個確定的常數，本選項為真命題；
③由ax+b＞0，解得：x＜-

b

a

，又不等式的解集為x＜1，得到-

b

a

=1，即-a=b，且a＜0，b＞0，
則

bx-a

x+2

=

b(x+1)

x+2

＞0，即

x+1

x+2

＞0，
可化為：

x+1＞0 x+2＞0

或

x+1＜0 x+2＜0

，解得：x＞-1或x＜-2，本選項為假命題；
④令a=3，b=2，c=-

1

3

，d=-

1

2

，滿足a＞b＞0，c＞d，但是ac=bd，本選項為假命題，
則正確的命題有：②．
故答案為：②．

點評：此題考查了不等式的基本性質，等差數列的性質，以及其他不等式的解法．學生要理解說明一個命題為假命題，只需要舉一個反例即可，要說明一個命題為真命題，必須經過嚴格的證明．